BARTÓK EN DE GULDEN SNEDE
Eerst even een uitstapje naar de getallenleer en de vlakke meetkunde. Fibonacci (ca. 1180-1250), zoon van Goedzak, heette eigenlijk Leonardo van Pisa en was een Italiaans koopman en wiskundige die als schrijver van het beroemde Liber Abaci het eerste wiskundeboek uit de renaissance schreef.
In de reeks van Fibonacci is elke term de som van de twee voorafgaande, dus: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144..... Deze rij getallen speelt een rol in de beschrijving van diverse natuurprocessen. Voor grote waarden van n nadert de verhouding hiervan de verhouding van de gulden snede (sectio aurea of sectio divina = goddelijke snede) of de verdeling in uiterste en middelste reden: de verdeling van een lijnstuk in twee delen waarvan het kleinste (u) zich tot het grootste (v) verhoudt als het grootste tot het geheel, dus u:v = v: (u+v). De verhouding u:v noemt men de gulden-snedeverhouding.
Stelt men v=1, dan verkrijgt men: u/1 = 1/(u+1), zodat u² + u – 1 = 0. Hieruit volgt u = ½ = ½√5 ≈ 0,618, zodat de verhouding van de gulden snede ca. 0,618 : 1 is, of bij ruwe benadering 5 : 8.
Nadat de Griekse wiskundige Euklides (3e eeuw v. Chr.) in zijn Stoicheia (Elementen) al had gesproken van de ‘snijding naar uiterste en middelste reden’ ........... De gulden snede, door fra Luca Pacioli in zijn De divina proportione (1509) aangeduid als goddelijk, werd in de Griekse architectuur toegepast en maakte grote opgang tijdens de Italiaanse renaissance (Brunelleschini). Ze werd gebruikt om de juiste verhouding te bepalen tussen onderlinge afstanden, ter verdeling van vlakken e.d. Niet alleen in de architectuur en de beeldende kunst was de gulden snede een algemeen geldig systeem geweest om tot de juiste proporties te komen, ook bijvoorbeeld in de typografie om te komen tot ideale verhoudingen tussen paginaformaat en indeling.
Of de gulden snede als basis van de schoonheidsleer niet alleen voor tempels, schilderijen, gedichten, maar ook in de muziek een rol speelt? Reden voor nader onderzoek. Deel de lengte van een compositie door 1,618 en deze valt uiteen in twee gedeelten die met elkaar in een goddelijke verhouding zouden moeten staan. Bij veel kunstwerken is dat gelukt en er is naar gezocht, er zijn ook voorbeelden gevonden, maar meestal juist niet op muziekgebied.
Maar neem nu Bartóks Muziek voor snaarinstrumenten, slagwerk en celesta uit 1936. Aan het begin van het eerste deel spelen de violen een langzame melodie die geleidelijk wordt overgenomen door steeds meer instrumenten. Die melodie ontwikkelt zich verder tot een extatische climax om daarna weer geleidelijk in het niets te verdwijnen. Dat hoogtepunt is heel evident en Bartók zelf heeft het er nooit over gehad, maar in 1940 opperde een Hongaarse musicoloog dat die climax op de gulden snede lag. Dat klopt niet helemaal. Het bewuste deel heeft 88 maten en het hoogtepunt zit op de eerste tel van maat 56. Of zou hij niet het aantal maten maar het aantal tellen bedoelen? Dat zou verschil kunnen maken want in deze compositie duurt niet elke maat even lang. De kortste heeft vijf tellen, de langste twaalf.
Na enig vlijtig rekenwerk blijkt de snede in dit langzame deel op 1,66 te liggen. Dat komt in de buurt van de ideale 1,618, maar helemaal tevreden stemt het niet. Ook de tijdsduur brengt geen soelaas: in seconden berekend brengt valt de grote klap eveneens op 1,66.
Dan lacht het geluk de twijfelende onderzoeker toe. Toevallig blijkt dat de eerste paukeninzet op maat 34 en terugblikkend blijken de inzetten van de melodie achtereenvolgens op maat 5, 8 en 13 te liggen. Is dat hetgeen te bewijzen was? Een onopgeloste vraag blijft, of Bartók die getallen van Fibonacci bewust heeft gebruikt hier. Maar daar mag niemand zich door laten afleiden van het feit dat deze ene melodie – bijna een toonladder, maar wel een vreemde – na negen minuten nog steeds zo ontroert.